September 6, 2007

• Prisoner's dilemma: John von Neumann, game theory, and the puzzle of the bomb

  [世事如棋]

  這本書，說不定可以用一首粵語歌概括﹕
  
  不待西人想到「Game theory」一詞，中國人在千百年前，就已經「以Game為喻」了。
  (畢華流﹕「是誰仍有小孩才玩圖板遊戲的錯誤觀念﹗o下﹗﹖」)

  儘管，馮紐曼說﹕「下棋不屬於賽局理論。……你也許無法算出答案，但是理論上，任何棋局必然有一個解，也就是有一個正確的過程。」

  《囚犯的兩難—賽局理論與數學天才馮紐曼的故事》William Poundstone著，葉家興譯，新店﹕左岸文化，2007
  (忘了提醒各位﹕博客來的介紹很多都附有試讀，而且不只一頁。所以近來多連到該處)

  首先提醒﹕「賽局理論」是「game theory」的譯名之一，通常會譯為「博弈論」。博弈論研究理性參與者，在一個規則和報酬確定的競爭中，如果能得到最大利益。

  本書書名雖然說是「馮紐曼的故事」，但並不單純是傳記。
  全書十三章，第一章是「兩難」的簡介，第二至九章是馮紐曼的生涯，第十至十三章討論博弈論的專題。包括馮紐曼死後的古巴飛彈危機、各種兩難賽局、博弈與生物演化、和博弈論對社會政治行為的分析。
  正如費曼，天才通常都有些很有趣的地方，馮紐曼亦如是(何況，他還是個「神童」)。但馮紐曼另一特別之處，在於他與政治和軍事介入甚深。不少參與製造原子彈的科學家在二戰結束後紛紛脫離計劃、反對各國繼續製造核武之際，馮紐曼則繼續為國防部和蘭德機構當顧問、進行研究。他對核戰的看法很悲觀，但並不妨礙他為政府出力。

  「囚犯兩難」是博弈論的一個著名例子。
  本書當然亦不限於「囚犯兩難」，但這是最著名的例子，在書中的篇幅亦最多。(尤其如果包括後來對「重覆的囚犯兩難」研究的話，見第十二章。)

  第一次讀到「囚犯兩難」是李逆熵《生物學新猷》的介紹(見零六年一月十三日日記)，然後大學時直接去讀《自私的基因》的討論(見零五年十一月一日日記)。但這兩本書的焦點，當然是在於生物學而非博弈論。所以他們只介紹了博弈論對「重覆囚犯兩難」的研究和「以眼還眼」(即書中「一報還一報」)的結果，並從博弈論角度提出「利他行為」的演化成因。
  如果按照這個研究，由舊約時代留下來的「以眼還眼」似乎還是值得作座右銘吧﹖

  道金斯在《自私的基因》裡曾經引述別人(艾瑟羅德自己﹖)的說法﹕把所有國家的領導人關起來讀《協作的演化》(有關上述的研究)，那麼世界將會得救。但在本書中，《協作的演化》作者艾瑟羅德不以為然﹕

  「許多人希望艾瑟羅德的發現能用於分析人類衝突，甚至希望政治家和軍事領袖們採用「務實的一報還一報」，從而使世界上大多數問題一夕間統統解決。

  艾瑟羅德自己卻沒有高估這種天真的想法。當筆者問他是否認為他的發現可以轉化成對政治家的忠告時，他堅定地說這不是他的目標﹕「我的目標是幫助人們更清楚認識事物，而世上的事物是極不相同的。包括賽局理論在內的任何形式化的模型，其價值在於，你可以利用它們而更清楚地看出事物運作的某些原理。但也只是某些原理，你一定還會留下許多問題，其中有些可能是非常重要的。」

  想要提倡在外交事務中應用一報還一報策略的部分問題是，在某種意義上說，大多數有理性的人雖然不知道這個策略，但實際已經這樣做了。有責任感的領導人不會去惹起麻煩，也不會輕易被激怒。現實的困難在於不清楚什麼時候應當合作，什麼時候應當背叛，但又必須做出決定。在現實世界中，某人到底是按合作或背叛的方針行事，有時候是不太明顯的，許多行動可能介於這兩個極端之間。而且我們經常不清楚對手做了什麼。當你不知道對方做了什麼時，就不可能採用任何條件式策略。」(p.329)

  如果「以眼還眼難以實際運用」已經夠糟的話，這裡還有另一段﹕

  「一報還一報的另一個問題是「回聲」效應。……看看現實的衝突，有多少是之前雙方宣稱他們只在受到攻擊時才報復﹖」(p.317)

  「在一個不確定的世界裡，類似一報還一報的策略也許是解決方案，但也許更是問題產生的一部分。在很多實際衝突中，雙方都宣稱是對方挑起了衝突，自己不過是一報還一報而已。……就像是自己有權力宣佈戰爭的門檻在哪裡。

  一報還一報策略要求雙方基本上相信同樣的歷史，否則，由於每一方都要懲罰對方最近一次「不可饒恕」的違規行為，而使雙方陷入你來我往無休止的報復。然而，由於各國相信同樣歷史的事是極罕見的，因此，一報還一報策略的效用在國際事務中極為有限。通過互惠以促進國際合作的策略，因此需要對等的行動以抑制沙文主義所虛構的荒誕說法，以避免歪曲一個國家對過去的看法。

  ……如果寄望一報還一報策略卻不先建立它的必要條件，我們將不可能促進合作，甚至可能造成更嚴重的衝突。」(p.330-331)

  有沒有想起以巴衝突、北愛爾蘭之類的問題﹖
  既然「共同見解」如此重要，我們亦可以想像中日韓學者合作撰寫《東亞三國的近現代史》，對於促進和平、消減民族主義，有多大的意義。

  由「囚犯兩難」可以引伸出很多不同的問題，其中一個就是跟大家每天生活相關的「公德」問題﹕Free rider (搭便車問題，我覺得譯作「搭霸王車」更貼切)。
  無論在家裡、學校、辦公室還是社會上，不斷都有一些「抽水怪」(現在的流行用語)。他們絕不會為某件事付出，但人家努力達成這件事後，他卻坐享其成。學生最熟悉的例子，大概就是做小組習作時，總會一些人不做事，卻認為分數有他一份。

  試想想，香港地鐵一天有那麼多人乘搭，一個人不給錢有甚麼影響﹖答案是幾乎等於零。但若然每個人都不給錢，地鐵就會倒閉。不付錢搭地鐵，有被捕的可能。可是在其他情境中，不付出的人可能沒有任何懲罰，於是變成其他人讓他們「蠶食」了。
  「蠶食」……你有沒有想起寄生蟲﹖正是如此。寄生蟲就是 free rider 的一種。(可見人類社會某程度上也是大宇宙的縮影，人類和禽獸確實有相類之處。)

  本書當然不會討論寄生蟲，但如果看倌讀《自私的基因》關於「鷹鴿之爭」的研究，就會想到「自私鬼」是不會消失的，因為他們的存在也是一個演化穩定策略(ESS)。有趣的是，無論全是「自私鬼」或「雷鋒」的社會都不會穩定(當然，靠宣傳教育叫人做雷鋒一樣是白費氣力)，只有「自私鬼」和「雷鋒」各佔若干比例的社會，才是穩定的。
  可見，就算你多討厭自私的人，你仍然要預期見到他們，大發脾氣也只會把自己氣死而已。
  還是那句，我們自以為是萬物之靈，其實我們的社會跟禽獸的族群，本質上差不了多遠。

  基本上，「政府」(或者「收稅」)就是人類社會對付「free rider」的方法，而且似乎是唯一有效的方法。所以儘管政府效率不高，但我們必須有政府。

  博弈論可以寫多少﹖正如歌神的歌，世事無一不是博弈。
  大如治國、小如治家，遠如交友，近如求偶。
  任何人讀博弈論的書，只要他願意思考的話，一定可以聯想到很多例子。

  自問連下棋也懵懵懂懂的在下，當然也沒甚麼好意見給大家。
  我只是一個，讀讀棋譜、看著別人下棋覺得很過癮，但其實不知道人家在想甚麼的人。

  (另外推介一本簡單薄薄的、使用內地例子的入門書﹕
  《博弈生存—社會現象的博弈論解讀》潘天群，中央編譯(北京)，2004
  介紹見 [書海潛遇(11)]，零五年十二月二日日記。)

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  筆記﹕

  p.75 「當小中取大和大中取小的結果相同時，該結果稱為「鞍點」(saddle point)。」

  是否等於納殊均衡(Nash Equilibrium)﹖

  p.227「對於大多數受實驗者，這種協商不太能影響賽局。為什麼受實驗者不願意合作﹖……按照研究人員的分析，受實驗者更感興趣的是勝過對手的報酬，而不是使自己的報酬最多。研究人員推測這是「一種受文化影響的準則，導致互不相識的人彼此防衛，最好首先保證自己和另一個人至少處於平等，而不要冒被對方擊敗的風險」。」

  所謂「贏左 banker」是也。
  不過這也不出奇，因為人是演化的成品，演化本身就是「人比人」多於看絕對值的機制。

  p.228 有一個賽局「完全沒有理由背叛。……然而不少受實驗者真的按了紅色按鈕(背叛)，而且比例高達百分之四十七。在此賽局中，顯然背叛是由競爭心所推動。參與者若一直選擇合作將能拿到最高報酬，但雙方卻會因此「平手」。而如果背叛對手，自己雖然贏得少了，但跟對手比起來，報酬卻比較多。」

  一言以蔽之﹕「憎人富貴厭人貧」。很像在下時常批評香港人「鍾意睇人折墮」的心態吧﹖

  p.230 「拉波普特發現醫生、建築師和大學生選擇合作多於小企業主。」
  「盧茲克發現「國際主義」和合作是強烈相關的。他建立了一套心理測試標準以度量對國際合作的各種觀點……然後他進行了一次標準測試，發現「孤立主義者」小組比「國際主義者」小組更常按紅色按鈕(背叛)。盧茲克直率地結論﹕「『愛國主義』和『民族主義』顯然與缺乏對其他人的信任，以及不能追求互利(雖然合作能獲得更大利益)的特質相關。」盧茲克曾在迪克斯堡陸軍訓練營擔任中尉心理醫生，說這句話的語氣可真強烈。」
  正如同一段﹕「在這些研究報告中，唯一可信的結論是﹕在某一環境下傾向合作的人，在其他環境下也同樣傾向合作。有些人習慣合作，而有些人習慣背叛。」

  人民啊﹗擦亮雙眼﹗

  p.276 「在膽小鬼難題中，最令人費解的莫過於﹕非理性的參賽者反而或似乎「占便宜」。……卡恩說﹕「透過前面的敘述可以明白，為什麼許多人在國際關係中的所作所為就像年輕人玩『膽小鬼遊戲』一樣。……」」

  我突然想起「流氓國家」北韓。

  p.291 「我們已經看到了正當化合作的最常用方法，說是去問﹕「如果每個人都這樣做呢﹖」」

  「如果每個人都這樣做呢﹖」
  如果每個人都會這樣想，這就已經是個很有道德的世界。

  p.298-299「如果雙方不知道要進行多少回囚犯困境，他們就無法運用逆向歸納，也就不可能從「最後一回」賽局倒推。由於不知道賽局要進行到什麼時候結束，他們就有更多理由去合作。如果兩難賽局的次數是無限的，沒有最後一次賽局，也就不會出現矛盾。因此，永生不死的生物是能夠合作的，但我們卻不能，因為我們終有一死﹗」
  「極端利己的人不會總是背叛別人，就是因為他明白不要「過河拆橋」。說不定哪天你會再遇見你這次背叛的人，而那時你卻需要他的合作。」

  這也是為何「街坊」小販較少欺騙，但遊客通常被坑的原因。

  p.314「訓練獵犬有一條規則，就是在牠犯了什麼錯後立刻懲罰。」

  很可惜，有時學生讓我們看到的表現，確實需要跟動物一樣的訓練方式。
  (也許只有讀書讀得太多的人，才會害怕不知何日到來的「you will pay」。)

  p.315「對於艾瑟羅德來說，最驚奇的發現之一就是一報還一報(以眼還眼)贏了，而且竟從來沒有「掠奪」過其他策略。艾瑟羅德解釋﹕「我們總是用自己的得分來跟別人的得分比較，但這並非獲得高分的方法。一報還一報不能打敗任何人，但它仍然贏得了這次競賽，這真是奇異的新觀念。……」」

  還是那句﹕做好自己。
  或者像馮兩努那句﹕「練好功夫等運到」。
  靠聰明可以得到一時的報酬，但並不長久。修為永遠比較重要。

  p.316「事實上，跟任何一種自以為是、不理對手的策略對抗時，最好的行動就是背叛。……不理對手的策略不會因此報復。」

  意思即是說﹕合作的前提是溝通和回應。對對方行為互相有反應的，才能合作。
  這也說明了，為何「加強溝通」對國際和平如此重要。「冇偈傾」除了打仗外就別無其他。

  p.319「這些「巧妙」的策略從總體上說都沒有好於一報還一報，它們就像瑞士刀一樣，藏有許多不同的工具，但你從來都不需要，還因為重而不便攜帶。大多數成功的策略都不是很容易被人掠奪的，想刺激它們以觀察其反應的行動，通常是得不償失。」

  可見，做人其實很簡單。
  古人已經說了﹕「智者千慮，必有一失」。

  p.326「結果顯示，曾經被其他吸血蝙蝠餵食的蝙蝠往後更願意貢獻血液，其意願的強弱取決於蝙蝠互相了解的程度。互相熟悉的蝙蝠更願意合作以期在將來持續互動。」

  這說明了為何一般人習慣互相送禮。
  (方某倒是不太喜歡收送禮物的，除非是我很想要但找不到的東西。)

  p.327-328「設想一個社會分成兩個集團﹕紅方和藍方。幾乎社會上的每個人都遵循這樣的策略﹕差別對待的一報還一報(Discriminatory Tit For Tat，簡稱 DTFT)。這種策略在面對同一集團的人時與「一報還一報」完全相同，在對付另一集團的人時則總是背叛。……(「因為你不能相信那些傢伙」)
  賴帝納和摩根證明這種安排是穩定的。如果有人盲目採用正規的一報還一報策略，結果會差於DTFT的堅持者。……
  這並不意味著當每個人都執行一報還一報時，DTFT會比一報還一報更成功，因為紅藍雙方每次互動都獲得懲罰性報酬，而不是獎勵性報酬。然而DTFT一旦建立了，基礎就是穩定的，因為它會對試圖建立「一報還一報」的個體施以懲罰。
  具有某一種標籤較少的一方因DTFT而受到的傷害，大於具有這一標籤較多的一方。」

  我們好像看到了，歧視和迫害是怎麼形成的。

  p.329 「有責任感的領導人不會去惹起麻煩」(抄了在上面)

  看到那段文字，我首先想起李登輝和陳水扁。

  p.331「我想每個人其實都知道什麼是非零和賽局，你可以在《新聞週刊》上直接用這個名詞而不必做任何解釋。我們是如此習慣於按零和賽局來思考問題，因此單單這一點就足以證明我們的智力有了重大進展。」

  就像「雙贏方案」﹖
  希望吧。

  p.344「你也許認為問題在於競拍者不具有艾瑟羅德所定義的「高尚」。那就譴責第一個背叛的人—第一個出價者吧﹗但是我們怎能去批評他呢﹖要是沒有人出價，九十九美分的獲利就會白白浪費掉啊。」

  忽然想起愛情悲劇裡，通常有個人說「我控制不到自己雙手」。

  p.346-347「在上述所有可能的開局出價中，只有九十九美分讓你能獲得保證一美分的獲利。但若對方是非理性的，甚至這一美分的利潤也無法確保，反而有損失九十九美分的輕微風險。」

  可見賺錢的確不易。(一笑﹗)

  p.349-352「如果兩個競拍者的資金數不等，其中一人可花的錢比另一人多，那麼情況就完全不同且更單純了。錢多的那個人—即使多一美分—永遠可以壓住對方出價……」
  「在真正的美元拍賣中，有多少人出價也是不確定的。在美元拍賣的實際試驗中，競拍者只能猜測他的對手有多少錢。但賽局理論的逆向分析需要從一開始就知道喊價的極限。如果喊價的極限是不確定的，那就沒法進行逆向分析。」

  可見有錢佬為何「大晒」。

  資料不確定，這是博弈論無法完全套用於現實的原因之一。
  (另一原因，是每個人心目中的報酬和喜好排列都不同。對於「義薄雲天」的人而言，根本沒有「囚犯兩難」這回事。)

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  挑骨頭時間﹕

  p.65「在上面這張圖中，整個左分支都可以被剪掉」

  「左」應為「右」。

  p.189「馬修斯辦公室的人把稿子直接送到了國防部的公共資訊室。……總之，公共情報局把演說稿油印以後分發給了新聞界。」

  很明顯是前後不一，原文也許是 Public Information Office/Bureau 之類，譯成前者為妥。(日本人才把所有 information 都譯成「情報」，雖然中文也有人這樣譯，但中文的「情報」一般是指 intelligence。)

  p.212「原子彈武器庫的成長情況大體上像下面這樣﹕」
  其實那張表在上一頁。

  p.216 註﹕「這個數字有些奇怪。它顯然是指在新墨西哥州試爆以及在長崎投下的那兩顆原子彈。沒有把廣島那顆計算在內，顯然是當時還沒做出來。如果情況屬實，那麼美國在長崎投下原子彈以後的一段時間裡根本就沒有核武。」

  廣島原爆先於長崎，所以這裡全部倒調了。若然不是作者出錯、譯者忙中不察，就譯者忙中有錯。

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  搜尋時在教育城找到一篇文章，讀完嚇了一跳﹕

  「各人追求自己利益而導致的最終結局就是所謂“納什均衡”(Nash Equilibrium)，也是對所有人都不利的結局。從“納什均衡”中我們還可以悟出一個真理：合作是有利的“利己策略”，不過在現實生活中非合作的情況要比合作情況普遍。」

  這說法有點問題，可能令人誤會。

  1. 納殊均衡不一定是「對所有人都不利的結局」，這要視乎哪一類博弈而定。在囚犯兩難確實是，但在其他博弈就不一定。
  納殊均衡只是指合乎理性、大家重頭再玩都不會改變的決定而已。

  2. 納殊均衡並沒有告訴我們應該或不應該合作。
  合作對大家有沒有「利」，是視乎博弈的「局」而不同。在「囚犯兩難」中互相合作比互相背叛更有利，但在其他的「局」裡面，互相合作的結果可以比互相背叛更差。

  3. 在現實生活中，非合作不見得就比合作普遍。
  社會之所以能夠順利運作，其實就依賴大家每天合作，只是這些事情太平凡，平凡到大家沒留意而已。(試想﹕坐霸王車的人多，還是乖乖付費的多﹖)

  4. 還有，是博「弈」。

  教育城是教育網站，建議出文前小心檢查比較好，免得令學生誤會。

  • 11:56 am
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